量子神经网络：从旋转门到一个可训练的量子模型

#把量子电路看成可训练的函数

在上一篇里，量子门负责演化，测量负责产生经典结果。顺着这个思路，就可以理解笔记中那条 QNN 流程：把输入编码成量子态，用带参数的门改变它，再把测量统计量作为模型输出。

这里讨论的是变分量子电路形式的量子神经网络。QNN 是一组模型的统称，不只有一种固定结构；这篇先围绕一个能完整算清楚、也能在网页中训练的例子展开。

#编码、演化、读出与经典优化器

把经典输入记作 x，把可训练参数记作 $\boldsymbol\theta$ 。一个常见流程是：

|\psi(x,\boldsymbol\theta)\rangle=U_{\mathrm{train}}(\boldsymbol\theta)U_{\mathrm{enc}}(x)|0\rangle^{\otimes n}.

选定可观测量 O 后，模型可输出期望值：

f_{\boldsymbol\theta}(x)=\langle\psi(x,\boldsymbol\theta)|O|\psi(x,\boldsymbol\theta)\rangle.

也可以直接把某个测量结果的概率作为输出。随后在经典计算机上计算损失、更新参数，再重新运行量子电路。Cerezo 等人的变分量子算法综述对这种量子—经典优化闭环有系统介绍。

重画笔记中的三比特电路：Ry 输入编码、Ry 可训练角度、两组 CNOT 和测量，以及经典参数更新回路 — 图 1 · 根据原笔记重画的三 qubit 电路。CNOT 提供可能产生纠缠的联合操作；是否纠缠还取决于输入。虚线表示经典优化器更新 θ，不是额外的量子门。

输入怎样进入电路？

编码	一个例子	要注意的成本
基态编码	二进制 101 → $\|101\rangle$	按位表示离散输入。
角度编码	$R_y(x)\|0\rangle$	特征需缩放到合适角度，旋转具有周期性。
振幅编码	$x/\\|x\\|$ → 态振幅	qubit 数少，不代表一般态制备免费。

最容易直接理解的是角度编码：

R_y(x)=\begin{bmatrix}\cos(x/2)&-\sin(x/2)\\\sin(x/2)&\cos(x/2)\end{bmatrix},\qquad R_y(x)|0\rangle=\cos\frac x2|0\rangle+\sin\frac x2|1\rangle.

若向量有 $2^n$ 个分量，振幅编码可以用 n 个 qubit 来表示归一化后的方向，但任意输入的制备过程仍可能需要大量操作，而且向量的原始模长需要另行处理。表示空间的维度不能直接等同于端到端效率。

#最小 QNN：一条正弦曲线也能训练

先暂时去掉多 qubit 和纠缠，只保留两次绕 Y 轴的旋转：

|0\rangle\xrightarrow{R_y(x)}\xrightarrow{R_y(\theta)}\xrightarrow{Z\ \mathrm{measurement}}\{0,1\}.

同轴旋转可以合并，因此：

|\psi_{\mathrm{out}}\rangle=R_y(\theta)R_y(x)|0\rangle=R_y(x+\theta)|0\rangle.

把测到 1 的概率作为模型输出：

f_\theta(x)=P(1\mid x,\theta)=\sin^2\frac{x+\theta}{2}=\frac{1-\cos(x+\theta)}2.

如果选择期望值读出，则 $\langle Z\rangle=\cos(x+\theta)$ ，两种输出之间有 $f_\theta=(1-\langle Z\rangle)/2$ 的关系。它们都来自同一条电路。

从预测到损失，再到参数更新

对 m 个训练样本，可以定义均方误差：

\mathcal L(\theta)=\frac1m\sum_{j=1}^{m}\bigl(f_\theta(x_j)-y_j\bigr)^2,\qquad\theta\leftarrow\theta-\eta\,\partial_\theta\mathcal L.

下面准备 9 个等间距输入， $x_j=-\pi+j\pi/4$ （ $j=0,\ldots,8$ ），并用 $y_j=\sin^2((x_j+1.1)/2)$ 生成软目标值。目标特意选在这个模型能表达的函数族里，用来观察训练机制；这不是一个真实数据集上的性能实验。

EXPERIMENT 04

训练一个只有 θ 的量子模型

蓝线是模型输出，橙色点是训练目标。拖动 θ 会平移整条曲线；拖动 x 只移动蓝色读数点。

输入 x0.7 rad

可训练参数 θ-0.8 rad

参数 θ−0.800

训练集 MSE0.29571

训练步数0

当前输入的预测 P(1)0.2%

当前损失梯度 ∂L/∂θ = −0.20060。使用精确期望值与参数位移梯度；这里没有加入有限 shots 的采样噪声。

初始 θ = −0.8，学习率 η = 0.8。

可以先手动拖动 θ，观察曲线怎样整体平移；再重置，点击“训练 50 步”。优化器根据当前损失梯度更新 θ，而不是把答案参数直接写入模型。输入 x 的滑块只用于观察一个位置的预测，不会改变训练集。

#参数位移：用两次电路求导

这个例子可以直接微分：

\frac{\partial f_\theta(x)}{\partial\theta}=\frac12\sin(x+\theta).

也可以把参数向两个方向分别平移 $\pi/2$ ，重新计算电路输出：

\frac{\partial f_\theta(x)}{\partial\theta}=\frac{f_{\theta+\pi/2}(x)-f_{\theta-\pi/2}(x)}2.

这是参数位移规则（parameter-shift）。对一个参数只出现于一个 $e^{-i\theta P/2}$ 形式的 Pauli 旋转门、其余门固定时，这个两项规则精确成立。它不是用一个很小的步长近似导数。更一般的生成元、共享参数或重复出现的参数，需要相应推广或按出现位置求导再相加。可参阅 PennyLane 的量子梯度教程。

要特别区分电路输出的导数与损失的导数。对这里的平方损失，仍需要链式法则：

\partial_\theta\mathcal L=\frac2m\sum_j\bigl(f_\theta(x_j)-y_j\bigr)\,\partial_\theta f_\theta(x_j).

不能直接把平方损失代入同一个两项位移式，就当作损失梯度。网页演示正是先计算输出的参数位移导数，再通过上式更新参数。

理想期望值与有限 shots

网页模拟可以直接计算振幅，从而得到精确概率。真实采样通常需要 S 次独立运行，用 $\widehat p=n_1/S$ 估计概率：

\operatorname{Var}(\widehat p)=\frac{p(1-p)}S\leq\frac1{4S}.

因此，标准误差通常按 $1/\sqrt S$ 缩小。参数位移需要估计两个不同电路的输出，采样噪声也会进入梯度。这些执行次数是训练成本的一部分。

#门都是线性的，模型为什么还能非线性？

这里需要分清楚“对什么变量线性”。固定门参数时，所有酉门对输入量子态向量都是线性的。多层门仍可合并成：

U_{\mathrm{total}}=U_L\cdots U_2U_1.

但模型从经典输入 x 到经典预测的映射，不必是线性的。角度编码把 x 放进三角函数；测量概率又是振幅模长平方。我们的例子就是 $f_\theta(x)=\sin^2((x+\theta)/2)$ 。

“测量是非线性的”还需要限定描述方式：Born 概率对态向量的振幅是二次的，但对密度矩阵 $\rho$ 是线性的， $P(i)=\operatorname{Tr}(\rho\Pi_i)$ 。不能据此把测量直接当作经典网络里的 ReLU。

这也解释了为什么不能把“堆更多量子门”直接类比为“更深的经典神经网络”。本例里连续的两个同轴旋转就可以合并；更复杂模型的函数族取决于编码、旋转轴、参数共享、联合门、重复编码与读出方式。

实践中还要考虑可训练性。McClean 等人关于 barren plateaus 的工作表明，在满足相应随机电路条件的情形下，梯度会随系统规模变得极小。这不意味着每条 QNN 都无法训练，但提醒我们不能仅凭参数量或 qubit 数判断模型是否有用。

#从教学模型走向实际问题

对一个 QNN，我现在更愿意依次问：输入怎么编码？可训练门能表达什么函数？测量什么统计量？怎样估计梯度？为了达到给定精度，需要多少次电路执行？最后再把总成本与合适的经典模型比较。

多 qubit、纠缠与重复编码可能改变模型的表达能力，但不会自动构成量子优势。下一篇换一个不依赖训练的例子，看看如何主动设计相位与干涉：Grover 搜索：标记相位，放大振幅。

Cerezo et al. · Variational Quantum Algorithms，Nature Reviews Physics, 2021。
Josh Izaac / PennyLane · Quantum gradients with backpropagation：参数位移与模拟器反向传播。
McClean et al. · Barren plateaus in quantum neural network training landscapes，Nature Communications, 2018。